数学社团的一些思考_1

随笔杂记，看情况持续更新……

1、应学校要求，开设数学社团课，要求不仅仅局限于当下所学内容，而是以更高的维度审视数学及相关学科的内在关联与核心思想；

2、思来想去，最后选择了《逻辑学》。因为数学乃至其他科学中，大量的知识都与此紧密相关，比如：定义与分类，什么是命题（真假命题、逆命题、否命题…），推理与论证（初中几何推导，演绎推理、归纳推理…），证实与证伪，公理化体系，反证法，以及高中的集合与逻辑用语等等；

3、还有一个原因是基于实际教学经验，对于一些思维较弱的学生，在初学几何证明时，遭遇到了非常大的认知冲突：什么是“证明”？为什么要“证明”？如何才能算“证明”？这些非常陌生的内容，强行进入的结果就是巨大的不适应。

4、为了增加趣味性，我在课上大量引用了非数学案例，结果很受学生欢迎，并且随着课程的进行，发现内容可以更丰富一些，与数学学科，主要是思维方面的联系更紧密，自然也会更有意义。再后来，还可以跟学生们讨论应该如何更有效地学习……总之，越发觉得这门课的意义，细细打磨，完全可以做成一个小初衔接的课程。

1、初中以后，学生逐步进入形式运算阶段，已具备一般科学意义上的思维方式的基础；

2、与此生理特点相配套的是，初中数学的设置相比小学高度形式化、抽象化，这对学生也提出了更高的要求。

3、都说初中比小学难在知识，其实是难在思维方式的转变，这才是许多学生跟不上节奏的更深层次原因。

4、尽管说初中学生已经进入形式运算阶段，但这只能算是理论基础，由理论到实际，还需要一个逐步转变的过程，而且学生个体间存在差异性；

5、再对比初中与高中，在思维方式上反而没有太多的区别，高中的绝大多数数学思想，其实已经在初中有所体现，最大的区别就是知识的难度了。

6、初中知识毕竟还不是太多，靠死记、机械训练，多半还可以应付，但如果不掌握正确的学科核心素养，到了高中，弊端就会显露无疑。

7、总之，小初衔接，尤其是思维方式的转化，是个值得老师思考的大问题。

1、说了那么多，到底该怎么办呢？既然是思维问题，最原滋原味的思维逻辑，除了基础的“逻辑哲学”还能有谁呢？当然了，“逻辑哲学”涵盖甚广，还是要聚焦到数学（哲学）及科学（哲学）上来——此为内容核心；

2、既然是帮助学生转变思维，就要以学生现有状态为基础，基于学生发展学生。结合学生认知心理学，将这些形式化的逻辑系统，以学生能够接受的方式带给学生。先从实例引入，尽量少强调概念。——此为引导方式。

1.1? 逻辑缘起：语言是引起误会的根源——人类思维与语言的不完美——逻辑源于人类理智的自我反省；

（1）引例：生活中常见的悖论——说谎者悖论；

通过一个简单的例子，引出“悖论”的概念：表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论。不过多的展开，只是让学生有一个大致了解。

一开始，学生肯定会很好奇，去尝试着思考其中的缘由，可适当给一点时间。

后续还有更加有意思的“悖论”。

（2）芝诺悖论——等比数列求和，简单解释；

这个问题中，并不会永远下去，按照论述中的说法，其实是一个等比数列，其和存在极限值。具体的计算学生尚不能理解，但大致思想可以接受。公布结果后，学生的反应会非常激动，原来数学这么厉害。

（3）半费之讼。

……

目标： 通过一些有趣的案例，引导学生得到这样一个认识： 我们赖以交流的语言，其实是不完善的，很多时候，误会恰恰就因为语言而产生。

首先需要明确，以上出现的问题，并非语法上的错误，那么，我们该怎么办呢？——为了正确地使用语言和思维，为了使理性的交流能够顺利进行，人们是否应当遵守某些一般的原则、假定或者规律？

引出后续内容： 同一律、矛盾律、排中律。

1.2? 同一律：你们说的是一回事吗？

（1）引例——数学中的问题。

（2）稻草人谬误；

（3）违反同一律的几种可能——承前启后， 引向概念 ；

（4） 数学案例——什么是“点”？——引向概念不明、定义的意义 ；

（5）生活中的概念不明。

其实，生活中的“概念不明”与数学关系不大，从这个角度看，完全可以不用提，之所以要提到这点，是想给学生做一些拓展，毕竟教育是整全的。

1.3? 矛盾律：我与你不共戴天！

（1）引例：矛与盾的故事；

（2）案例：上帝是万能的吗？

（3）玻璃到底是谁打碎的——它们真的矛盾吗？

（4） 何为矛盾？矛盾一定是贬义吗？数学中的“矛盾”？二元、三元、四元等对立，韦恩图 ；

（5） 分数与整数的关系—— 互斥与分类

1.4? 排中律：拒绝两面派

（1）引例：直接给出；

（2） 反证法 ——同一平面内，过直线外一点，可以做多少条直线与已知直线垂直？

（3） 排除法 ——面积为2的正方形，你的边长到底是多少？

有理数的分类。

1.5 这些逻辑有道理吗？

（1）引例——不投诉等不等于喜欢？

（2） 一一对应产生的矛盾——无限多——看似“矛盾”的现象，其实是人类认知上的局限；

（3）高学历等不等于高能力？为什么大公司都喜欢招名校毕业生？

（4）生活与数学中的逻辑，合 情 合理

（5）……

2.1 什么是“推理与证明”？——第二讲大浪漫

（1）引例：基督教竟然允许讨论上帝的存在？！

（2）什么是推理？什么是证明？二者一样吗？

后续大致内容，可以与数学联系更紧密些……

（1）什么是命题？如何判断真假？

（2）傻子才会那么做——三段论与命题，条件与结论，原命题与逆命题；

（3）公理与定理；

（4）公理化体系；

（5）演绎推理与归纳推理；

（6）证实与证伪，数学哲学与科学哲学；

（7）……

1、《逻辑是什么？》《逻辑学十五讲》；

2、《科学哲学十讲》《科技哲学十五讲》；

3、《基本概念与运算法则》《数学基本思想18讲》《数学思想概率》、各种数学史书籍；

4、《儿童心理学》《教育的目的》

5、其他